Визначення площі багатокутника методом трапецій

 Розглянемо довільний чотирикутник з вершинами у точках (x₁;y₁), (х₂; у₂), (х₃; у₃), (х₄; у₄) (мал. 144). Якщо з
кожної вер­шини опустити вертикальні лінії на вісь Ох, то отримаємо точ­ки (х₁; 0), (х₂; 0), (х₃; 0), (х₄; 0). Неважко помітити, що шукану площу заданого чотирикутника можна отримати так: від суми площ трапецій, зображених на малюнку 144, а, відняти суму площ трапецій, зображених на малюнку 144, б.

А чи достатньо для цього інформації про заданий чотирикут­ник у вигляді координат його вершин? Виявляється, що так. Ос­нови трапеції, що утворюються точками (х₁; 0), (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₂; 0) (мал. 144, а), мають довжини у₁ та у₂, а висота дорівнює (х₂ - х,). Площу цієї трапеції можна буде визначити за форму­лою.

Аналогічно представимо і площі інших трьох трапецій (мал. 144):

 

Варто обговорити принцип запису цих формул.

Як бачимо, у них використана певна послідовність розгляду вершин заданого чотирикутника: в порядку їх обходу за годин­никовою стрілкою. Перші два вирази даватимуть у результаті обчислення додатні значення (х₂ – x₁> 0, х₃- х₂> 0), а другі два - від'ємні (х₄ - х₃ < 0, х₁ - х₄ < 0). Отже, немає необхідності в інформації про те, площі яких трапецій необхідно додавати, а Яких – віднімати. Всі їх треба лише додавати - це обумовлено порядком обходу вершин заданого багатокутника.

Однак тут все-таки є одна особливість. У нашому прикладі обхід виконується за годинниковою стрілкою і сума додатних площ більша за суму від'ємних, у результаті чого буде отрима­но додатний результат, що і є шуканою площею заданого ба­гатокутника. А якщо обхід робити у зворотному порядку, то ре­зультат отримається правильний, але від'ємний. Напрошуєть­ся висновок: оскільки в задачах переважно невідомо, у якому порядку задаються вершини багатокутника, то відповіддю буде модуль обчисленого результату.

Виконавши алгебраїчні перетворення, отримаємо:

Чи не схожі доданки отриманої формули з виразами, що ви­значають напрям повороту при обході багатокутника від кожної вершини (х_i+1; y_i+1) до його попередньої вершини (x_i; у_i)? Усі, окрім останнього, такими і є, у даній формулі враховуються не тільки їх знаки, але й їхні значення. Останній доданок так само зрозумілий: заданий чотирикутник утворюється замкненою ла­маною і тому необхідно врахувати трапецію, що побудована на його останній та першій вершинах у порядку обходу.

Отриману формулу можна представити у більш компактно­му вигляді для n-кутника: