Перетин відрізків

Нехай на площині задані два відрізки відповідними коорди­натами своїх кінців (x₁; у1), (х₂; у₂) і (х₃; у3), (х₄; у₄). їхнє взаємне розміщення може бути різним. Усі ці випадки зобра­жено на малюнку 146, де для більшої наочності кінці заданих відрізків позначено відповідно p₁, р₂ і р₃, р₄. Розглянемо всі ці випадки і спробуємо визначити певну закономірність, яка буде слугувати ознакою перетину досліджуваних відрізків.

Проаналізувавши малюнок 146, а, можна зробити наступ­ний висновок.

Якщо з точки р₁ дивитися спочатку у точку р₂, що є проти­лежним кінцем цього відрізка, а потім перевести погляд у точку р₃, то при цьому буде виконано поворот проти годинникової стрілки. Ознакою такого повороту буде виконання умови (р₂ - p₁) х (р₃ - р₁) > 0. Якщо, дивлячись із точки р₁ у точку р₂, перевести погляд у точку р₄, то при цьому буде виконано пово­рот за годинниковою стрілкою: (р₂ - р₁) х (р₄ -p₁) < 0. Остаточ­ний висновок буде таким: якщо кінці р₃ і р₄ відрізка лежать по різні боки від відрізка з кінцями р₁ і р₂, то при цьому вико­нується умова [(р₂ -р₁) х (р₃ -p₁)] • [(р₂ -p₁) х (р₄ -p₁)] < 0.

Однак отриманої залежності замало для остаточного виснов­ку про те, що задані відрізки перетинаються. Така сама ситу­ація повинна мати місце і для відрізка з кінцями р₃ і р₄: якщо дивитимемося із точки р₃ у точку р₄, то при переведенні погля­ду в точки р₁ і р₂ поворот здійснюватиметься у різні боки. Від­повідно до цього умову виконання такого взаємного розміщен­ня відрізків запишемо так:

[(p₄ -p₃) х (p₁ - p₃)] • [(p₄  - p₃) х (p₂ - p_з)] <0 А тепер вже можна сформулювати остаточний висновок. Два задані відрізки з кінцями у точках p₁, р₂ і р₃, р₄ перети­наються тільки в разі, коли виконуються такі дві умови:

[(р₂-р₁) х (р₃ -p₁)] • [(р₂ -p₁) х (р₄ -p₁)] < 0.

[(p₄ - p₃) х (p₁ - p₃)] • [(p₄  - p₃) х (p₂ - p_з)] <0 Зрозуміло, що якщо два задані відрізки не перетинаються (мал. 146, б), то одна із зазначених вище умов не виконується.